Robinsons Vater starb kurz vor seiner Geburt. Als Juden mit einer langen zionistischen Tradition wanderte die Familie 1933 aus Deutschland nach Palästina aus, wo Robinson 1935 sein Mathematikstudium bei Lewitzky und Abraham Fraenkel in Jerusalem begann. Er war ein brillanter Student und errang nach seinem Abschluss 1939 ein Stipendium für das Weiterstudium an der Sorbonne in Paris. Bei der Invasion Frankreichs 1940 konnte er mit einem der letzten Boote nach England entkommen, wo er sich der Luftwaffe des Freien Frankreichs anschloss. Als Mathematiker wurde er dem Forschungszentrum der Royal Aircraft in Farnborough unterstellt, wo er sich bald zu einem Experten für Flügelformen (Deltaflügel für Überschallströmungen) entwickelte. Neben seinen aerodynamischen Forschungen interessierte er sich weiterhin für mathematische Logik und studierte nach einem Master-Abschluss an der Universität Jerusalem 1946 weiter an der Universität London bis zu seiner Promotion in Jerusalem 1949. In dieser Zeit und später in Toronto leistete er Pionierarbeit in der Modelltheorie.
1951 wurde er Professor für angewandte Mathematik in Toronto, 1957 Nachfolger von Fraenkel an der Hebräischen Universität in Jerusalem. 1962 wurde er Professor für Mathematik und Philosophie an der University of California in Los Angeles und ab 1967 bis zu seinem Tod Professor in Yale. 1973 erkrankte er an Bauchspeicheldrüsenkrebs und starb daran wenige Monate nach einer Operation.
Robinson ist am bekanntesten für seine Erfindung der Nonstandard-Analysis 1961, in der er die Idee infinitesimaler Elemente, die schon Leibniz und andere Mathematiker des 17. Jahrhunderts benutzten, auf eine solide Basis stellte.
1973 erhielt er die Brouwer-Medaille.