Nissen erlangte 1913 das Abitur am Humanistischen Gymnasium in Neisse und begann im selben Jahr das Studium der Medizin an der Universität Breslau, wechselte aber schon bald nach München. Während des Ersten Weltkrieges leistete er von 1914 bis 1918 Militärdienst in einem Sanitätsbataillon. Als Soldat erlitt er einen Lungensteckschuss, dessen Folgen ihn sein Leben lang belasteten. Nach dem Krieg setzte er sein Medizinstudium an den Universitäten Marburg und Breslau fort.
Bei dem Pathologen Ludwig Aschoff begann Nissen nach dem Staatsexamen 1920 in Freiburg als Assistent. Seine chirurgische Ausbildung eröffnete er 1921 in München bei Sauerbruch. Nach der Facharztanerkennung, und späterhin in der Position eines Oberarztes, war er hier bis 1927 tätig. Als Sauerbruch 1927 einen Ruf an die Charité erhielt, ging Nissen mit nach Berlin, wo er 1930 zum außerordentlichen Professor ernannt wurde.
Bereits in den ersten Monaten der nationalsozialistischen Herrschaft emigrierte er, zunächst in die Türkei. Er wurde mit Unterstützung der "Notgemeinschaft" von Philipp Schwartz und nach Beratung mit Sauerbruch 1933 Ordinarius für Chirurgie an der Universität Istanbul. Nach Beginn des Zweiten Weltkrieges ging Nissen wegen gesundheitlicher Probleme in die USA, denn sein Leiden hatte sich durch das Exil und die anstrengende Arbeit verschlimmert. Obwohl ihm die türkische Regierung bei der Vertragsverlängerung entgegengekommen war, wählte er schließlich die Weiterreise nach Amerika, wo ihm besser geholfen werden konnte. Er war von 1939 bis 1941 Research Fellow of Surgery am Massachusetts General Hospital in Boston und von 1941 bis 1952 Chief of Division des Surgical Department am Jewish Hospital of Brooklyn sowie Director of Surgery am "Maimonides Hospital Brooklyn" in New York. Ab 1944 war er außerdem Assistent Professor of Surgery am "Long Island College of Medicine", ebenfalls in Brooklyn.
Im Jahr 1952 erhielt er einen Ruf an die Universität Basel. Diesen Lehrstuhl hatte er bis zu seiner Emeritierung 1967 inne. Nach der Emeritierung führte er weiterhin bis 1970 eine Praxis in Basel.
Die Fundoplicatio nach Nissen ist eine Standardoperation im Übergangsbereich Speiseröhre-Magen, die seinen Namen trägt.[1]