Paul Peikerts Eltern waren der Zimmermann Joseph Peikert und seine Frau Karolina Peikert, geb. Rother. Vor allem unter dem Einfluss seiner Tante, der Ordensschwester Hortulana, entschlossen sich die Eltern, den Sohn in ein Gymnasium zu schicken. Nach seinem Abschluss am Gymnasium studierte er in Breslau Theologie und wurde am 20. Juni 1910 durch Kardinal Kopp zum Priester geweiht. In der Pfarrei Wansen (im Kreis Strehlen) war er ein Jahr Kaplan und von dort aus ging er nach zwei Jahren in die Pfarrei St. Heinrich in Breslau.
Nach weiteren drei Jahren wurde er 1916 nach Grottkau geschickt, wo er über den pastoralen Dienst des Erziehungsheimes übernahm. In 1918 kam er kurz nach Neukirch (heute ein Stadtteil von Breslau) und im November schließlich nach Hermsdorf (jetzt Sobięcin bei Wałbrzych), wo er 1920 die Pfarrei organisierte und am 20. Februar 1923 ihr erster Pfarrer wurde. 1928 wurde Peikert als Pfarrer nach Waldenburg geschickt und 1932 wurde er von Kardinal Bertram aus über hundert Kandidaten für den Posten des Pfarrers von St. Mauritius in Breslau ausgewählt.
In den Jahren 1932 bis 1946 war er Pfarrer der St.-Mauritius-Kirche in Breslau in der Klosterstraße. In den ersten Jahren in der neuen Pfarrei begann er mit dem Bau der Filialkirche St. Josef in der Ofener Straße, der Sanierung der Pfarrkirche und des Friedhofs und ließ einen neuen Taufbrunnen und einen Hochaltar anfertigen.[1]
Am 17. August 1937, während seiner Exerzitien in Grüssau, wurde Peikert durch die Gestapo verhaftet. Bei ihm wurde der „Offene[r] Brief an den Herrn Reichsminister Dr. Goebbels“ von Kardinal George Mundelein gefunden. Peikert wurde der Verbreitung von Briefen beschuldigt, doch trotz Ermittlungen konnte ihm nichts bewiesen werden, und am 11. November wurde er in die Freiheit entlassen. Trotz der Probleme mit der Geheimpolizei wurde er für sein kirchliches Wirken von Kardinal Adolf Bertram am 26. November 1940 zum Geistlichen Rat ernannt.
Nach dem Krieg zog er nach Westfalen, wo er in Bredenborn im Kreis Höxter bis zu seinem Tod in der Kirche St. Joseph als Pfarrer diente und dort auf dem Friedhof beigesetzt wurde.