Weberbauer wurde am 26. November 1871 als Sohn des Mykologen Otto Weberbauer (1846–1881) und dessen Ehefrau Antonia Weberbauer, geb. Adamczyk, in Breslau geboren. Nach seinem Abitur am Gymnasium in Glatz im Jahr 1890 studierte er Naturwissenschaften mit dem Hauptfach Biologie an verschiedenen deutschen Universitäten (Breslau, Berlin und Heidelberg) und promovierte 1894 in Berlin. 1898 habilitierte er sich in Breslau.
Von 1901 bis 1905 bereiste er erstmals Peru und erkundete die dortige Pflanzenwelt. Seine gesammelten Pflanzen sandte er zur Bearbeitung und Bestimmung an das Königliche Museum in Dahlem bei Berlin. Nach zwei Jahren (1906 und 1907) als Direktor des botanischen Gartens in Victoria, Kamerun übernahm Weberbauer 1908 die Leitung des zoologischen Gartens und des botanischen Gartens in Lima, Peru. 1914 gab er diese Tätigkeit auf, um ungebundener und intensiver in Peru forschen zu können.
Nachdem er zwischenzeitlich als Angestellter einer Minengesellschaft in der Provinz Huaura, sowie als Lehrer an der Knabenschule „Instituto de Lima“ und der deutschen Schule Alexander von Humboldt in Lima gearbeitet hatte, erhielt er 1922 einen Lehrstuhl für pharmazeutische Botanik an der Universidad Nacional Mayor de San Marcos in Lima. Den Lehrstuhl hatte er bis 1932 inne. Bis zu seinem Tod am 16. Januar 1948 war Weberbauer Leiter des botanischen Seminars an der Universidad Mayor de San Marcos.