Gottwald studierte Gesang bei Gerhard Hüsch und Chorleitung bei Kurt Thomas. 1961 wurde er in Frankfurt mit einer Dissertation über den Renaissance-Komponisten Johannes Ghiselin promoviert. Als Musikwissenschaftler bearbeitete er zahlreiche wissenschaftliche Kataloge von Musikhandschriften.
Als Chorleiter war Gottwald zunächst von 1954 bis 1958 Assistent von Marcel Couraud. Von 1958 bis 1970 war er Kantor an der ev. Pauluskirche Stuttgart und leitete dort den Paulus-Chor. 1960 gründete Gottwald die Schola Cantorum Stuttgart, ein 16- bis 18-stimmiges professionelles Vokalensemble, das als Repertoire-Schwerpunkte gleichermaßen die klassische Vokalpolyphonie wie auch die Neue Musik hatte und mehr als 80 Ur- und Erstaufführungen von Chorwerken gestaltete. Er leitete das Ensemble bis zu dessen Auflösung 1990.
Als Komponist machte er besonders durch Bearbeitungen für bis zu 16-stimmigen gemischten Chor a cappella auf sich aufmerksam, in denen er die Kompositionsweise von György Ligeti auf Vokalkomposition von Alban Berg, Hector Berlioz, Claude Debussy, Franz Liszt, Gustav Mahler, Giacomo Puccini, Maurice Ravel, Richard Wagner, Anton Webern, Hugo Wolf und anderen anwendete. Insbesondere die Bearbeitung von Gustav Mahlers Rückert-Lied Ich bin der Welt abhanden gekommen (1985) gelangte durch den Einsatz des schwedischen Chorleiters Eric Ericson zu internationaler Beachtung und wurde von zahlreichen Spitzenchören nachgesungen.
2009 erhielt er den Kulturpreis Baden-Württemberg für sein Lebenswerk, 2012 in Schwäbisch Gmünd den Preis der Europäischen Kirchenmusik für seine wegweisenden Anregungen zur Schaffung und Vermittlung Geistlicher Musik