Kuss studierte zwischen 1924 und 1931 Philologie und Theologie in Breslau, Bonn und Berlin. Mit einer Abhandlung über die Adam-Christus-Parallele promovierte er 1930 bei Friedrich Wilhelm Maier. Im darauffolgenden Jahr wurde er in Breslau zum Priester geweiht und arbeitete zunächst als Seelsorger in Liegnitz. Während des Dritten Reichs war er als Vikar am Breslauer Dom tätig. Seine Habilitation wurde wegen seines sehr deutlichen Widerstands gegen die nationalsozialistischen Machthaber verhindert.
Nach Kriegsende wurde Kuss als Kurat in Donaustauf sesshaft. 1946 folgte er einem Ruf der Philosophisch-Theologischen Hochschule Regensburg als Professor der Patrologie. 1948 wechselte er als Ordinarius an die Erzbischöfliche Philosophisch-Theologische Akademie Paderborn. Schließlich wurde Kuss 1960 auf den Lehrstuhl für Neutestamentliche Exegese und Biblische Hermeneutik der Universität München berufen.
Am 1. April 1973 wurde Kuss emeritiert.