Kühn studierte 1873 an der Königlichen Akademie der Künste zu München bei Max von Widnmann. In den Jahren 1875-1880 war er im Atelier des Bildhauers Fritz von Miller und 1882-1883 im Atelier des Bildhauers Rudolf Maison tätig. Danach war er selbständig und fertigte vor allem Porträtbüsten und Grabdenkmäler. Seinen ersten internationalen Erfolg hatte er 1885 bei der Ausstellung der Royal Academy of Arts mit seiner Ganymed-Gruppe.