Fiebig trat am 3. März 1910 als Fähnrich dem Infanterie-Regiment „von Grolmann“ (1. Posensches) Nr. 18 bei und wirkte dort zunächst als Kompanieoffizier. Mit Ausbruch des Ersten Weltkriegs ernannte man ihn zum Bataillonsadjutant. Zu einem unbekannten Zeitpunkt im Lauf des Jahres 1915 wechselte er als Flugzeug- und Staffelführer in das Bombergeschwader 3 der Obersten Heeresleitung über. Diese Funktion nahm Fiebig bis zum 1. August 1918 wahr. Anschließend agierte er vom 2. August 1918 bis Februar 1919 als Kommandeur des Bombergeschwaders 9 und schied im gleichen Monat aus dem aktiven Militärdienst aus.
Als Zivilist arbeitete Fiebig von 1926 bis Ende April 1934 als Flugleiter bei der Deutschen Lufthansa. Zum 1. Mai 1934 wurde er für die im geheimen Aufbau begriffene Luftwaffe als Major reaktiviert. Hier fand er zunächst als Fliegerhorstkommandant in Greifswald Verwendung. Von 1936 bis Ende Juni 1938 war Fiebig Kommandeur der Kampffliegerschule in Faßberg. Im Anschluss hieran, inzwischen zum Oberst befördert, war er vom 1. Juli 1938 bis zum 10. Mai 1940 Kommodore des Kampfgeschwaders 253 bzw. 4 General Wever. Hier wurde Fiebig am 10. Mai 1940 im Zuge des Westfeldzuges über Holland mit seinem Flugzeug abgeschossen und geriet vorüberhend in niederländischeKriegsgefangenschaft. Nach seiner Befreiung durch deutsche Truppen war er Kommandeur einer Kampfgruppe bei der Panzergruppe Guderian. Nach Beendingung des Feldzuges wurde er Chef für Flugsicherheit im Reichsluftfahrtministerium, was er bis zum 1. April 1941 blieb.
Vom 2. April 1941 bis zum 11. April 1942 war Fiebig Nahkampfführer beim IV. Fliegerkorps, später im II. sowie im VIII. Fliegerkorps. Zum 12. April 1942 wurde er Kommandeur der 1. Flieger-Division und blieb dies bis Ende Juni 1942. Anschließend stieg Fiebig am 1. Juli 1942 zum Kommandierenden General des VIII. Fliegerkorps auf, wechselte jedoch in gleicher Position am 22. Mai 1943 zum X. Fliegerkorps über und führte dieses bis zum 1. September desselben Jahres. In dieser Funktion fungierte er zugleich als Befehlshaber des Luftwaffenkommandos Südost. Vom 1. September 1944 bis zum 31. Januar 1945 befand sich Fiebig vorübergehend in der Führerreserve beim Oberkommando der Luftwaffe. Vom 1. Februar bis zum 12. April 1945 agierte er wieder als Kommandierender General des II. Fliegerkorps sowie anschließend vom 12. April bis zum 8. Mai als Befehlshaber des Luftwaffenkommandos Nordost.
Am 8. Mai 1945 geriet Fiebig zunächst in britische Kriegsgefangenschaft, wurde jedoch am 6. Februar 1946 nach Jugoslawien überstellt, wo er in einem Kriegsverbrecherprozess am 10. September für schuldig befunden und zum Tode verurteilt wurde. Die Vollstreckung des Urteils erfolgte am 24. Oktober 1947.