Kober studierte in Breslau und promovierte dort 1903 mit einer Arbeit über die mittelalterliche Geschichte der Juden in Köln. 1907 legte er zusätzlich das Rabbinerexamen ab.
1918 übernahm Kober in Köln, in einer der damals größten jüdischen Gemeinden Deutschlands, die Stelle eines Gemeinderabbiners. 1925 verantwortete Kober die überregional sehr beachtete Abteilung zur jüdischen Geschichte der "Jahrtausend-Ausstellung der Rheinlande", die auf dem Kölner Messegelände stattfand. In Köln gründete Kober 1928 das "Jüdische Lehrhaus" als Stätte jüdischer Erwachsenenbildung und verantwortete im selben Jahr die inhaltliche Planung des jüdischen Pressepavillons auf der großen Kölner Kulturschau "Pressa". Neben seiner Rabbinertätigkeit widmete sich Kober in zahlreichen wissenschaftlichen Publikationen der Geschichte der rheinischen Juden. In den 1930er-Jahren war er Mitherausgeber der angesehenen Zeitschrift für die Geschichte der Juden in Deutschland.
1939 emigrierte Kober in die USA, wo er bis zu seinem Tod 1958 in New York neben seiner Arbeit als Rabbiner weiter wissenschaftlich tätig blieb. Auch in den USA beschäftigte er sich weiter mit der Geschichte des rheinischen Judentums. Köln besuchte er nur noch in den Jahren 1953 und 1957.
Im Jahr 1963 benannte die Stadt Köln im rechtsrheinischen Stadtteil Stammheim eine Straße nach Adolf Kober.