Schubart, der Sohn eines sächsischen Konsistorialrats, studierte von 1892 bis 1897 Alte Geschichte, Klassische Philologie und Philosophie an den Universitäten zu Tübingen, Halle, Berlin und Breslau. Nach dem Staatsexamen und der Promotion bei Ulrich Wilcken zum Thema Quaestiones de rebus militaribus, quales fuerint in regno Lagidarum im Jahr 1897 arbeitete er als Direktorialassistent im Dienst der Königlichen Museen zu Berlin, machte sich als Mitherausgeber der Berliner Klassikertexte (1904–1907) einen Namen und stieg bald zum Leiter der Berliner Papyrussammlung auf.
Die Habilitation erfolgte 1900, die Dissertation wurde auch als Habilitationsleistung anerkannt. In dieser Position erwarb er durch seine Sammlungs- und Entzifferungstätigkeit großes Ansehen: 1912 wurde er zum Professor ernannt, von 1925 bis 1934 gehörte er als Mitherausgeber der Redaktion des Gnomon an und erhielt 1920 die Ehrendoktorwürde der Juristischen Fakultät der Universität Frankfurt am Main. Seit 1933 lehrte er als Honorarprofessor Alte Geschichte an der Berliner Universität. Nach der Machtergreifung der Nationalsozialisten trat er 1937 von seiner Professur und der Leitung der Papyrussammlung zurück. Nachdem gegen Ende des Zweiten Weltkriegs seine Wohnung in Berlin-Lichterfelde mitsamt der Bibliothek bei einem Bombenangriff zerstört worden war, zogen Schubart und seine Frau zu Verwandten nach Zwickau.
Nach Kriegsende wurde Schubart 1946 auf den Lehrstuhl für Alte Geschichte an der Universität Leipzig berufen. Nach seiner Emeritierung 1952, im Alter von 78 Jahren, zog er zu seiner Frau Gertrud Schubart-Fikentscher nach Halle, wo sie als Professorin für Deutsche Rechtsgeschichte und Bürgerliches Recht lehrte. Schubart starb in Halle nach jahrelanger Pflege durch seine Frau am 9. August 1960 im Alter von 86 Jahren.
Schubart war ordentliches Mitglied der Sächsischen Akademie der Wissenschaften, korrespondierendes Mitglied der Deutschen Akademie der Wissenschaften in Berlin, der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, der British Academy und der Österreichischen Akademie der Wissenschaften, Ehrenmitglied der Society for the Promotion of Hellenic Studies, auswärtiges Mitglied der Königlichen Wissenschafts- und Gelehrsamkeitsgesellschaft in Göteborg, Gründungsmitglied und Ehrenpräsident im Comité Internationale de Papyrologie der Association International de Papyrologues. Die Regierung der Deutschen Demokratischen Republik verlieh ihm den Ehrentitel Hervorragender Wissenschaftler des Volkes.