Diepenbrock entstammte einem Bocholter Patriziergeschlecht. Seine Eltern waren Anton Diepenbrock, Salm'scher Hofkammerrat, und Franziska, geb. Kesting. Seine Kindheit verbrachte er auf dem Familiengut Haus Horst in Holtwick [1], einem heutigen Stadtteil von Bocholt. Nach der Teilnahme am Frankreichfeldzug von 1815 und dem Besuch des französischen Lyceums in Bonn entschloss er sich - wohl unter dem Einfluss des Landshuter Professors und späteren Regensburger Bischofs Johann Michael Sailer, der 1818 zu Besuch in Horst war, - den geistlichen Beruf zu ergreifen. Nach Studien an den Universitäten in Landshut, Mainz und Münster wurde er 1823 in Regensburg zum Priester geweiht. Danach widmete er sich dem Studium der kirchlichen Mystik des Mittelalters.
1829 wurde Diepenbrock Sekretär des neu gewählten Regensburger Bischofs Johann Michael Sailer. 1830 erfolgte die Ernennung zum Domherrn. Obwohl er die Nachfolge Sailers, der 1832 starb, ablehnte, wurde er Kanoniker und Domprediger, 1835 Domdechant und 1842 Generalvikar. Für seine Regensburger Verdienste erhielt er 1845 den Titel eines bayerischen Freiherren.
Nach dem Tod des Breslauer Bischofs Joseph Knauer wählte das Domkapitel auf ausdrücklichen Wunsch des Papstes Gregor XVI. Melchior von Diepenbrock am 15. Januar 1845 zu dessen Nachfolger. Die Bischofsweihe nahm der Salzburger Erzbischof Schwarzenberg am 8. Juni 1845 in Salzburg vor.
Als Oberhirte ergriff Diepenbrock Maßnahmen zur Erneuerung des kirchlichen Lebens und förderte die Tätigkeit katholischer Vereine. Zur Bekämpfung der Armut und Verbesserung der sozialen Verhältnisse holte er die Borromäerinnen und die Vinzentinerinnen sowie die Armen Schulschwestern in seine Diözese und begründete die Kongregation der Grauen Schwestern. Während seiner Amtszeit wurde in Breslau das theologische Konvikt erweitert und ein Knabenseminar gegründet.
Mit Exerzitien und Volksmissionen trat er den Umtrieben der Deutschkatholiken entschieden entgegen, tolerierte jedoch die staatlichen Kirchengesetze. Große Beachtung fand sein Hirtenbrief im Revolutionsjahr 1848, der das preußische Staatswesen stützte.
Am 19. Mai 1848 wurde er als Abgeordneter für den Landkreis Oppeln Mitglied der Frankfurter Nationalversammlung, schied aber wegen Krankheit bereits am 29. August 1848 aus dem Parlament aus. 1850 übertrug ihm König Friedrich Wilhelm IV. die Militärseelsorge für Preußen. Wegen seiner Verdienste um die Kirche ernannte ihn Papst Pius IX. im gleichen Jahr zum Kardinal.
Auch außerhalb seiner Diözese versuchte Diepenbrock Einfluss zu nehmen. Als das Königreich Bayern durch die Lola-Montez-Affäre bedroht war, schrieb er mahnende und warnende Briefe an König Ludwig I., die nicht ohne Einfluss geblieben sein sollen.
In seiner literarischen Tätigkeit übertrug er fremdsprachliche Werke und veröffentlichte 1829 die Sammlung „Geistlicher Blumenstrauß“ mit teils eigenen Dichtungen.
Diepenbrock, der im Alter von 55 Jahren in seiner Sommerresidenz in Jauernig starb, wurde im Breslauer Dom bestattet.