Albert Martin Robert Radecke war der Sohn eines evangelischen Kantors und Organisten. Schon früh zeigte sich seine musikalische Begabung. Seine akademische Musikausbildung erhielt er ab 1848 am Leipziger Konservatorium. Hier gehörten zu seinen Lehrern Julius Rietz (Komposition), Ignaz Moscheles (Klavier) und Ferdinand David (Violine).
Robert Radecke spielte im Leipziger Gewandhausorchester. 1852, zwei Jahre nach Studienabschluss, wurde er zweiter Direktor der Leipziger Singakademie und im folgenden Jahr Kapellmeister des Leipziger Stadttheaters. Dieses Amt bekleidete er nur kurze Zeit, bevor er 1854 nach Berlin ging.
In Berlin war er zunächst kammermusikalisch (so als zweiter Geiger im Quartett von Ferdinand Laub) und als Klaviervirtuose tätig, bevor er sich ab 1858 durch in Eigenregie veranstaltete Orchester- und Chorkonzerte hervortat. 1863 wurde er zum Musikdirektor an die Königliche Hofoper berufen und 1871 als Königlicher Kapellmeister auf Lebenszeit angestellt.
1878 wurde er Lehrer am Stern’schen Konservatorium, dem er 1883 bis 1888 als Direktor vorstand. 1875 wurde Robert Radecke Mitglied der Königlich Preußischen Akademie der Künste, 1881 wurde er in ihr zum Senator und weitere sechs Jahre später zum Vorsitzenden des Senats der Musiksektion gewählt.
Seine letzte Arbeitsstätte war das Königliche Institut für Kirchenmusik in Berlin, zu dessen Direktor er 1892 berufen wurde und bis zum Alter von 77 Jahren blieb.
Die Grabstätte Robert Radeckes, die zu den Berliner Ehrengrabstätten zählt, befindet sich auf dem Alten Zwölf-Apostel-Kirchhof in Berlin-Schöneberg.
Robert Radecke war mit Charlotte Jonas (1837–1880), einer Tochter des protestantischen Theologen Ludwig Jonas (1797-1859), verheiratet. Ihr Sohn Ernst Ludwig Sigismund (1866-1920) wirkte von 1893 bis 1920 als Pianist, Dirigent und Generalmusikdirektor in Winterthur (Schweiz). Daneben hatte das Paar sechs weitere Kinder: Anna (1863-1863), Elisabeth (1864-1927), Paul (1868-1871), Charlotte (1870-1939), Walther (1872-1956) und Joachim (1874-1895). Robert Radeckes älterer Bruder Rudolf Radecke war auch in Berlin Chorleiter und Musikpädagoge