Göppert machte zunächst in Sprottau und Neiße eine Lehre als Apotheker, bevor er ab 1821 an den Universitäten Breslau und Berlin Medizin studierte. In seiner Breslauer Studienzeit schloss er sich der Breslauer Burschenschaft an, weswegen er von der Universität exmatrikuliert worden ist. 1826 ließ er sich als Arzt in Breslau nieder, habilitierte sich im folgenden Jahr in den Fächern Medizin und Botanik und wurde 1831 zum Professor für Botanik und Kurator am Botanischen Garten sowie als Lehrer an der chirurgischen Lehranstalt zu Breslau berufen.
1839 wurde er ordentlicher Professor für Botanik und 1852 Direktor des Botanischen Gartens.
Von Göpperts zahlreichen wissenschaftlichen Arbeiten beschäftigen sich viele mit den Lebenserscheinungen der Pflanzen, insbesondere mit dem Leben der Bäume. Sein größtes Verdienst liegt jedoch auf dem Gebiet der Paläobotanik, zu deren bedeutendsten Vertretern Göppert im 19. Jahrhundert zählte.
Die Städte Breslau und Sprottau verliehen ihm die Ehrenbürgerschaft.
Sein Sohn Heinrich Robert Göppert war ein bekannter Jurist und seine Urenkelin Maria Goeppert-Mayer wurde mit dem Physiknobelpreis ausgezeichnet.