Als überzeugter Protestant verteidigte Dobschütz im Dreißigjährigen Krieg das Fürstentum Breslau gegen den Kaiser Ferdinand II. von Habsburg und die katholische Kirche. Noch immer sind seine sterblichen Überreste in der seit 1945 katholischen Elisabeth-Kirche zu Breslau beigesetzt.
Dobschütz entstammte einem alten schlesischen Adelsgeschlecht und war Sohn des Gutsbesitzers, Kaufmanns und Landesschöffen Nikolaus von Dobschütz († 1583), Gutsherr auf Polnisch Gandau und Jäschgüttel im Landkreis Breslau, und der Margarethe Bach von Bachschütz (1531-1600).
Gerade einmal 21 Jahre alt, heiratete Dobschütz am 2. Mai 1580 in der Maria-Magdalena-Kirche zu Breslau in erster Ehe die wesentlich ältere, schon seit 20 Jahren (1560) verwitwete Hedwig von Bank (* um 1540 in Breslau; † 22. Dezember 1583 in Breslau), die Tochter des Anton von Bank und der Anna von Rhediger; beide Familien waren mächtige Breslauer Ratsgeschlechter. Man darf also wohl davon ausgehen, dass es sich bei dieser ungewöhnlichen Vermählung eher um eine Vernunftehe gehandelt haben dürfte. Aus dieser kurzen ersten Ehe entstammt nur Sohn Daniel.
Am 9. Mai 1585 heiratete Dobschütz, inzwischen 26 Jahre alt, wieder in Breslau in zweiter Ehe Rosina von Hessler und Waldau (* 1569, † 26. November 1625 in Breslau), die Tochter des Hans von Hessler und der Adelheid von Schnitter. Dieser Ehe entstammen 5 Söhne und 4 Töchter, darunter Hans Georg von Dobschütz (1589–1635), ebenfalls über einige Jahre Ratsherr in Breslau (1626–1635).
Sein jüngerer Bruder ist der Kaufmann Bartholomäus von Dobschütz (1568-1637), Landeshauptmann des Weichbildes Namslau (Oberschlesien).
Sein direkter Nachkomme ist Karl Ernst von Dobschütz (1753-1806), der den seit über 200 Jahren und in der 6. Generation betriebenen Familiensitz Sillmenau im Jahr 1785 verkauft und 1806 wegen Falschmünzerei vor den Toren Prags gehängt wird.
Nicht nur, dass Dobschütz nach dem baldigen Tod seiner ersten Frau Hedwig durch Erbschaft in den Besitz der vier Güter Lobetinz und Radaxdorf, beide im Kreis Neumarkt, Niederschlesien, sowie Sillmenau und Gräbchen, beide im Landkreis Breslau, kam, die diese von ihrem Vater geerbt hatte. Sondern vor allem waren die besonders engen verwandtschaftlichen Beziehungen seiner Schwiegereltern Bank und Rhediger zum Breslauer Patriziat seiner politischen und damit beruflichen Karriere durchaus förderlich. Wohl nur deshalb wurde Dobschütz - ungewöhnlich für das 16. Jahrhundert - schon als 29-Jähriger am 11. Dezember 1587 in den Rat der Stadt Breslau gewählt und gehörte diesem zunächst zwei Jahrzehnte wechselnd als "Schöffe" oder "Konsul" (lat.: Rat) an, bis er schließlich am Aschermittwoch 1607 mit 49 Jahren sogar Ratspräses (Ratsältester) und damit auch Landeshauptmann des Fürstentums Breslau wurde. Dieses Amt bekleidete er 17 Jahre lang bis zu seinem Tod im Jahr 1624. Hervorzuheben ist dabei, dass mit Dobschütz ein Angehöriger des alten Gutsbesitzer-Adels in den Breslauer Rat gelangte, der sonst eher von Breslauer Kaufleuten beherrscht wurde. Seit 1591 bis ebenfalls zu seinem Tod war Dobschütz zusätzlich Kellerherr des "Schweidnitzer Kellers", der historischen Schankwirtschaft im Breslauer Rathaus; dieses Ehrenamt beinhaltete den Vorstand über die Bewirtschaftung des Ratskellers, die Überwachung des gesamten Breslauer Brauwesens, die Kontrolle des städtischen Brauhauses und des städtischen Malzhauses. Im Jahr 1621 war Dobschütz auch Lieferant der Breslauer Münze. Außerdem war er ein Königlicher Mann.
Nach fast 40 Jahren als Politiker, Ratsherr der Stadt Breslau und des Breslauer Fürstentums, davon 17 Jahre in Folge als Ratspräses und Landeshauptmann (Ministerpräsident), starb Adam von Dobschütz am 6. Dezember 1624 in Breslau und wurde unter größter Anteilnahme der Bevölkerung am 17. Dezember direkt vor dem Altar in den Boden der Breslauer Elisabethkirche beigesetzt - in einem „küppernen und hültzernen Sarche“. Nach einer historischen Quelle wurde er hierzu "aus der anderen halben Stadt mit 24 Priestern, 3 Schulen, alles Kirchengeläut, so zur Stadtjuristdiktion gehörig, 24 Kerzen, 16 Fackeln, einer Leichfahne und Leidtrosse abgeholet, von 14 Choralisten über den Ring getragen (die Straße um den Breslauer Marktplatz) und in St. Elisabeth vor dem hohen Altar unter diesen Stein mit Litera D in einem doppelten, schwibogeten Sarge in sein Ruhebettlein versetzet und begraben."
Das herausragende Ansehen seiner Person und seiner Amtsführung wird nicht nur durch diesen Ehrenplatz vor dem Kirchenaltar, sondern auch durch Druck und Veröffentlichung unzähliger Trauergedichte zu seinem Tod deutlich, in denen sein Kampf gegen den Kaiser und den Katholizismus gerühmt werden.