Nach dem Besuch des Gymnasiums in Breslau studierte Stache ab 1851 an der Universität in dieser Stadt (kurzzeitig auch in Berlin) und promovierte 1855 bei Heinrich Robert Goeppert zum Dr. phil. Als junger Wissenschaftler erhielt er 1857 eine Anstellung an der k.k. geologischen Reichsanstalt.
Aufnahmearbeiten (geologische Feldarbeiten) in den Jahren
1858/59 führten ihn in die
Karstgebiete des
Österreichischen Küstenlandes. Als Ergebnis dieser Arbeiten
entstand eine erste größere geologische Beschreibung der
Karstformationen (1864 erschienen) mit einer geologischen
Übersichtskarte. Parallel untersuchte er ausführlich die
biostratigraphischen Verhältnisse der
Neogenablagerungen im
Unterkrain. Dazu fertigte Stache umfangreiche
Fossilienverzeichnisse von bedeutenden Fundorten an, wie
beispielsweise Altendorf,
St. Canzian und
St. Margarethen. Diese systematischen paläontologischen
Arbeiten konnte er erst später fortsetzen.
Um 1860 war er mit der geologischen Erkundung in
Siebenbürgen beschäftigt und dadurch an den umfangreichen
Aufnahmearbeiten des Chefgeologen
Franz von Hauer beteiligt. Dieser leitete die
Aufnahmearbeiten im damaligen Großfürstentum Siebenbürgen. Im
Jahr 1863 wurden die Ergebnisse dieser umfangreichen Arbeit
publiziert. Die dazugehörende Geologische Übersichtskarte von
Siebenbürgen war bereits 1861 in
Hermannstadt erschienen.
Im Rahmen dieses Werkes schlugen Hauer und Stache für eine Gruppe quarzhaltiger Trachyte den Terminus Dacit vor. Ursprünglich war eine Benennung mit Biharit (Agalmatolit) beabsichtigt, was sich auf das Hauptverbreitungsgebiet dieser Gesteinsgruppe im siebenbürgischen Bihargebirge bezogen hätte. Weil dieser Name aber schon durch Carl Ferdinand Peters für ein Mineral verwendet worden war, konnte diese Überlegung nicht aufgegriffen werden. Der Gesteinsgruppenname ist bis heute anerkannt und Teil der petrographischen Nomenklatur.
Da seine Erfahrungen bei den geologischen Feldarbeiten und Kartierung Anerkennung fanden, wurde Stache 1869 zur geologischen Aufnahme in der Region um Unghvár beauftragt. Im Jahr 1874 publizierte er eine zusammenfassende Darstellung über die paläozoischen Formationen der Ostalpen, die auf den von der k.k. geologischen Reichsanstalt erarbeiteten und zusammengestellten Erkenntnissen beruhte. Sie resultierten aus den Arbeiten von Markus Vincent Lipold, Adolf von Morlot (1820–1867), Carl Ferdinand Peters, Friedrich Rolle, Dionýs Stur, Eduard Suess, Emil Tietze, Th. Zollikofer und den eigenen Forschungen. Mit diesem umfassenden Aufsatz wurden ein erster Überblick zu den geologischen Verhältnissen im kompliziertesten österreichischen Alpenabschnitt gegeben und weiteren Forschungen unter internationaler Beteiligung das Feld geebnet.
Seine vergleichenden Arbeiten zum Paläozoikum der Alpen konnte Stache erst 1889 wieder aufnehmen. Im selben Jahr untersuchte er alte Lockersedimente im Bereich vom Isonzo.
Den frühen Arbeiten über den Karst folgten im Jahr 1877 weitere Untersuchungen in der Region um Triest und ab 1888 geologische Kartierungsarbeiten zur Neuaufnahme vorhandener Kartenunterlagen. Von Stache stammen die Blätter Triest (bearbeitet 1886–1891), Sessana-St. Peter (aufgenommen 1859) und Görz-Gradiška (bearbeitet 1886–1891).
Seine umfassenden Kenntnisse über die Geologie von Österreich-Ungarn brachten Stache zunächst die Stellung eines Assistenten, nachfolgend des Chefgeologen der k.k. geologischen Reichsanstalt ein und 1892 (21. Oktober) wurde er nach einer kurzen amtierenden Phase deren Direktor. In diesem Amt trat er die Nachfolge des Geologen Dionýs Stur an, dessen Stellvertreter er seit 1885 war. Diese Aufgabe nahm Stache von 1892 bis zu seinem Ruhestand im Jahr 1902 wahr. Er war der vierte Direktor dieser Institution seit ihrer Gründung im Jahre 1849. In seine Amtszeit fiel die Festveranstaltung anlässlich des 50-jährigen Jubiläums (9. Juni 1900) für die Anstalt.