Der Bischof von Katowice, Herbert Bednorz, weihte ihn am 31. März 1983 zum Priester.
Papst Benedikt XVI. ernannte ihn am 21. Dezember 2005 zum Titularbischof von Vanariona und Weihbischof in Kattowitz. Der Erzbischof von Kattowitz, Damian Zimoń, spendete ihm am 4. Februar 2006 die Bischofsweihe; Mitkonsekratoren waren Stefan Cichy, Bischof von Legnica, und Wiktor Skworc, Bischof von Tarnów. Als Wahlspruch wählte er Christus dilexit nos.
Am 18. Mai 2013 ernannte ihn Papst Franziskus zum Erzbischof von Breslau. Die Amtseinführung erfolgte am 16. Juni desselben Jahres.
Józef Kupny ist Großoffizier des Ritterordens vom Heiligen Grab zu Jerusalem.
In der Polnischen Bischofskonferenz ist er Mitglied des Ständigen Rates, Vorsitzender des Rates für Soziales, Delegierter für katholische Bewegungen und Vereinigungen.