Paul Jaeschke wurde als Sohn eines Bankiers in Breslau geboren. Er besuchte das Gymnasium lediglich bis zur Obersekundareife. Mit bestandener Einjährigen Prüfung, trat er am 26. April 1868 als Seekadett in die Marine des Norddeutschen Bundes ein. Mit dem Seekadettenschulschiff „Niobe“ besuchte er von Juli 1868 bis Juni 1869 die Afrikanischen Atlantikinseln und Westindien.

 Am 18. November 1875 wurde er zum Leutnant zur See befördert und in der Folge durchlief er verschiedene Land- und Seeverwendungen, die auch Auslandsverwendungen (zum Beispiel 1875 mit der „Augusta“ auf der Auslandsstation für die Ostküste Nordamerikas und das Gebiet Westindien) beinhalteten. Am 16. April 1881 wurde er zum Kapitänleutnant befördert und Referent in der Inspektion des Torpedowesens. Von 1886 bis 1888 war Jaeschke Kommandant des Kanonenboots „Wolf“ auf der Ostasiatischen Auslandsstation. Am 15. November 1888 wurde er zum Korvettenkapitän befördert und im selben Jahr Kommandeur der Torpedoabteilung in Kiel. Von 1892 bis 1895 war Jaeschke im Reichsmarineamt Chef der zentralen Abteilung. 1895 wurde er Kapitän zur See. Im April 1895 wurde er Kommandant der zum Panzerschiff II. Klasse umklassifizierten Panzerfregatte „Kaiser“ und wurde nach Ostasien kommandiert. SMS Kaiser wurde das Flaggschiff der Kreuzerdivision unter Konteradmiral Paul Hoffmann und besuchte im Frühjahr 1896 die Kiautschoubucht. Im Mai 1896 wurde er zurück nach Berlin beordert, um die Auslandsabteilung im Oberkommando der Marine zu übernehmen. Am 10. Oktober 1898 wurde er von Tirpitz zum zweiten Gouverneur das Pachtgebietes Kiautschou ernannt, er traf allerdings erst am 18. Februar 1899 in Tsingtau ein. Jaeschke starb am 27. Januar 1901 an einer Typhuserkrankung. Er wurde auf dem Europäerfriedhof in Tsingtau beerdigt.