In seiner Kindheit besuchte Pückler-Burghauss die Volksschule. Das Abitur legte er zu Ostern 1905 an einem Gymnasium in Neisse ab. Anschließend studierte er von 1905 bis 1908 Rechts- und Staatswissenschaften in Bonn und Breslau. 1905 wurde er Mitglied des Corps Borussia Bonn.
Am 1. April 1908 trat Pückler-Burghauss in das Leibkürassier-Regiment ein. Am 25. Juni 1909 erhielt er das Leutnantspatent. Am 1. Januar 1913 wurde er zu den Reserveoffizieren überführt. Im selben Jahr heiratete er Olga-Elisabeth Prinzessin von Sachsen Altenburg, Herzogin zu Sachsen (1886–1955), die älteste Tochter von Albert von Sachsen-Altenburg und der Marie von Preußen. Aus der Ehe gingen drei Kinder hervor: Die Töchter Ella-Viola (* 8. April 1914; † 4. April 1982) und Eleonore-Renata (* 25. November 1919;† 4. November 1997) sowie der Sohn Karl Rudiger (*/† 1923).
Er nahm mit seinem Regiment am Ersten Weltkrieg teil, in dem er unter anderem mit dem Eisernen Kreuz beider Klassen ausgezeichnet wurde. 1917 wurde er in den Generalstab des VI. Armeekorps versetzt. Im September 1919 nahm er seinen Abschied als Rittmeister um fortan als Landwirt auf den elterlichen Gütern zu arbeiten.
Von 1919 bis 1931 war er Mitglied der DNVP.
Am 1. Dezember 1931 trat Pückler-Burghauss in die Nationalsozialistische Deutsche Arbeiterpartei (NSDAP) (Mitgliedsnr. 788.697) und in die Sturmabteilung (SA) ein, in der ihm noch im gleichen Monat der Rang eines Sturmbannführers verliehen wurde. Nachdem er in der ersten Hälfte des Jahres 1932 als Gauredner der NSDAP in Schlesien aktiv war, erfolgte am 1. Juli 1932 seine Übernahme als hauptamtlicher SA-Führer.
Vom 1. Juli bis zum 14. Dezember 1932 war Pückler-Burghauss SA-Führer z. b. V. und Referent für Wehrfragen beim Stab der SA-Gruppe Schlesien (Breslau) und vom 15. Dezember 1932 bis 30. November 1933 (zunächst beauftragter) Stabsführer der SA-Gruppe Schlesien. In dieser Dienststellung wurde er am 29. Dezember 1932 mit Wirkung vom 1. Juli 1932 zum SA-Standartenführer und am 10. April 1933 zum SA-Oberführer befördert. In der Zeit vom 1. Juni bis 30. Juni 1933 war er Stabsführer der SA-Obergruppe I (mit den unterstellten SA-Gruppen Berlin-Brandenburg, Ostmark, Schlesien, Pommern und Nordmark), anschließend (1. Juli 1933 bis 14. März 1934) beauftragter Stabsführer der SA-Obergruppe III (SA-Gruppen Berlin-Brandenburg, Ostmark und Schlesien, Dienstsitz: Breslau).
Von der Reichstagswahl im März 1933 bis November 1933 war Pückler-Burghauss Reichstagsabgeordneter der NSDAP für den Wahlkreis 9 (Oppeln). Das wichtigste parlamentarische Ereignis, an dem er während dieser Zeit als MdR beteiligt war, war die Verabschiedung des Ermächtigungsgesetzes im März 1933, das den Weg in die Diktatur letztlich öffnete und unter anderem auch mit seiner Stimme beschlossen wurde. Bei den Reichstagswahlen vom 12. November 1933 wurde er aufgrund von Differenzen mit dem schlesischen Gauleiter Helmuth Brückner nicht wieder als Kandidat aufgestellt.
Vom 15. März bis 30. Juni 1934 war Pückler-Burghauss hauptamtlicher SA-Führer unter SA-Obergruppenführer Edmund Heines, welcher zugleich (seit 31. Juli 1931) Führer der SA-Gruppe Schlesien war, sodann Stabsführer der (neuen) SA-Obergruppe VIII (SA-Gruppe Schlesien, Dienstsitz: Breslau). Nach dem sogenannten Röhm-Putsch schied Pückler-Burghauss vorerst mit Wirkung vom 1. Juli 1934 aus dem hauptamtlichen Dienstverhältnis bei der SA aus und bekleidete bis zum 30. Januar 1937 den Rang eines SA-Führers z. V. der Obersten SA-Führung.
Nachdem er von Juli 1934 bis Anfang 1937 als selbständiger Landwirt tätig war, erfolgte zum 30. Januar 1937 seine erneute Übernahme in den aktiven (hauptamtlichen) SA-Dienst: Vom 1. Februar 1937 bis 2. Juli 1939 fungierte er zunächst als Amtschef in der Obersten SA-Führung. Nach seiner Beförderung am 1. Mai 1937 zum SA-Brigadeführer, war Pückler-Burghauss vom Oktober 1937 bis 2. Juli 1939 Leiter des Verbindungsamts Berlin der Obersten SA-Führung, bevor er am 1. Juli 1939 endgültig aus dem hauptamtlichen SA-Dienst entlassen wurde.
Am 25. November 1939 stellte Pückler-Burghauss den Antrag an die Oberste SA-Führung auf Genehmigung zum Übertritt in die Schutzstaffel (SS). Nach der Einwilligung der OSAF wurde er am 1. Juli 1940 schließlich als Mitglied in die SS (SS-Nr. 365.136) aufgenommen, in der er noch am selben Tag den Rang eines SS-Brigadeführers erhielt.
Anfang 1942 wurde er als Stellvertreter von Erich von dem Bach-Zelewski zum Höheren SS- und Polizeiführer für den Bereich Russland-Mitte ernannt. Am 12. September 1942 wurde er im Rang eines SS-Brigadeführer und Generalmajors der Waffen-SS zum Befehlshaber der Waffen-SS im Protektorat Böhmen und Mähren ernannt. Im Anschluss daran wurde er im Mai 1943 im Rang eines SS-Gruppenführers und Generalleutnants der Waffen-SS zum Befehlshaber der 15. SS-Waffen-Grenadier-Division der SS in Lettland berufen. Diesen Posten bekleidete er bis zum 17. Februar 1944. Am 20. März 1944 wurde ihm erneut sein früheres Kommando als Befehlshaber der Waffen-SS in Böhmen und Mähren zugewiesen, das er nun bis zum Ende des Zweiten Weltkrieges ausübte.
Nach der Kapitulation der deutschen Truppen in Prag am 8. Mai 1945 führte Pückler-Burghauss die abziehenden Truppen nach Westen, um sie vor der sowjetischen Gefangenschaft zu bewahren. Zahlreiche deutsche Zivilisten schlossen sich seinen Einheiten bei der Flucht an. Der Versuch gegenüber der 3. US-Army bei Pilsen zu kapitulieren, wurde von dieser abgelehnt. Stattdessen trafen am Abend des 11. Mai sowjetische Truppen ein, die Pückler-Burghauss' Verbände unter Beschuss nahmen. Als auch die Amerikaner mit Artillerie das Feuer eröffneten, und der amerikanische Verhandlungsführer selbst eine Gefangennahme nur von Pückler-Burghauss' und seiner Familie ablehnte, unterschrieb dieser schließlich wie verlangt in der Nacht vom 12. auf den 13. Mai die Kapitulation gegenüber den Sowjets und beging anschließend Suizid. Sein Leichnam wurde auf dem Zentralfriedhof von Brünn beigesetzt.
Neben seiner politischen Tätigkeit betätigte Pückler-Burghauss sich auch schriftstellerisch. Er veröffentlichte insbesondere Bücher über seine Jagd- und Kriegserlebnisse.