Er war der Sohn Siegfried Crzellitzer und Malvine Schlesinger. Siegfried hatte die von Arthurs Großvater in Breslau gegründete Zuckerwarenfabrik weitergeführt. Der Architekt Fritz Crzellitzer ist der Sohn von Arthurs Onkel Emil, der als Börsenhändler zu großem Vermögen gekommen war.
Czellitzer hatte sich bereits als Schüler mit Genealogie beschäftigt, und Daten zur Herkunft seiner Familie gesammelt. Er studierte Medizin in Breslau, München und Freiburg und arbeitete als Augenarzt in Heidelberg, Strassburg und Paris. Seit 1900 praktizierte er als Augenarzt in Berlin. Im Jahr 1905 heiratete er Margarate Salomon. Sie hatten drei Töchter. Im Jahr 1907 gründete er in Berlin eine Privatklinik für Augenheilkunde.
Er nahm am Ersten Weltkrieg als Leutnant teil und war Leiter der Abteilung für Augenheilkunde im deutschen Militärkrankenhaus in Warschau. Dort beteiligte er sich auch an der Ende 1915 von Armeeangehörigen in Warschau gegründeten Freimaurerloge „Zum Eisernen Kreuz im Osten“.
Im Jahr 1924 gründete er die Gesellschaft für jüdische Familienforschung (Berlin W 9, Tirpitzufer 22) und war Herausgeber der Zeitschrift Jüdische Familienforschung (Berlin 1924–1938, erschien monatlich, Auflage 1935 ca. 1000 Expl.); die Hefte bilden zusammen ein umfassendes Nachschlagewerk zum deutschen und internationalen, meist europäischen, Judentum und ihren verwandtschaftlichen Verhältnissen, berücksichtigt sind auch listenmäßig Namensänderungen nach den Stein-Hardenbergschen Reformen uvm. und des Archivs für jüdische Familienforschung. Er war Mitglied der 1927 gegründeten Deutschen Gesellschaft für Vererbungswissenschaft.Im Jahr 1936 musste er die gutgehende Augenklinik schließen und seine nicht-jüdischen Angestellten entlassen. Auf der Flucht vor der deutschen Judenverfolgung übersiedelte die Familie am 9. Juli 1938 nach Breda. Nach Beginn des deutschen Überfalles auf Holland schloss sich die Familie einem Flüchtlingszug an, um über Frankreich nach England zu emigrieren. In Belgien wurde Arthur von der belgischen Polizei verhaftet und wegen seines deutschen Passes interniert. Seine Frau und Töchter konnten ihre Flucht fortsetzen und wurden in England ebenfalls als Deutsche interniert. Margarete saß 15 Wochen in Holloway Prison, davon 4 in Einzelhaft. Arthur Crzellitzer wurde nach vier Tagen freigelassen und gelangte nach 19 Tagen wieder in seine Wohnung in Breda. Am 9. April 1943 wurde er ins Durchgangslager Westerbork deportiert und am 13. Juli 1943 ins Vernichtungslager Sobibor transportiert, wo er am 16. Juli 1943 ermordet wurde.
Zuvor hatte er noch erleben müssen, dass seine Forschungen, die Familienchroniken in gedruckter und handschriftlicher Form, Memoiren, Stammtafeln usw., von den Nazis als Informationsmaterial für die Judenverfolgung herangezogen wurden.
Czellitzer besaß ein Archiv mit jüdischen genealogischen Dokumenten, einschließlich Testamenten, Memoiren, Chroniken, genealogischen Tabellen und Stammbäumen. Die Sammlung hatte er noch vor seiner Verhaftung einem nichtjüdischen Freund in Tilburg übergeben, der sie in seiner Wollfabrik versteckte, wo sie aber ein Jahr später nach Czellitzers Ermordung von den Deutschen gefunden und verbrannt wurde.