Cornelia (Cora) Schröder-Auerbach war die Tochter des Breslauer Pianisten Max Auerbach (* 1872) und die Schwester von Klaus, Günter und Johannes Ilmari Auerbach sowie die Nichte des Jenaer Physikers Felix Auerbach.
Nach der Trennung der Eltern 1906 ging ihre Mutter, die Lehrerin Käthe Auerbach (1871–1940), mit den beiden jüngsten Söhnen nach Jena, während Johannes und Cornelia vorerst beim Vater blieben. Der kinderlose Onkel, Felix Auerbach, Professor an der Universität Jena, wurde jedoch bald zum Ersatzvater aller Kinder. Cora Auerbach wuchs im Jenaer Haus des Onkels auf, in dem Künstler und Mäzene wie Clara Harnack, Reinhard Sorge, Eberhard Grisebach und Botho Graef verkehrten. Sie spielte Tasteninstrumente, Blockflöte und war eine Schülerin von Max Reger.
1918/19 war sie Musiklehrerin an der Freien Schulgemeinde Wickersdorf und hatte Verbindungen zur Wandervogel-Bewegung und der Jugendbewegung. Sie studierte ab 1920 Musikwissenschaft in Breslau, München, Jena und Freiburg (Wilibald Gurlitt), wo sie 1928 mit einer Dissertation Die deutsche Clavichordkunst des 18. Jahrhunderts promovierte. Sie war die erste promovierte Musikwissenschaftlerin in Deutschland und war Abteilungsleiterin an der Berliner Akademie der Wissenschaften.
1929 heiratete sie die den Komponisten Hanning Schröder in Berlin. Anfang der 30er Jahre gaben Schröder, seine Frau und der Instrumentenbauer Peter Harlan als „Harlan-Trio“ in ganz Deutschland zahlreiche Konzerte mit Mittelalter-, Renaissance- und Barock-Musik auf historischen Instrumenten. Cornelia Schröder-Auerbach war die treibende Kraft dieses Ensembles, organisierte den Großteil der Konzerte und gab daneben Vorlesungen über alte Musik und die Praxis dieser historischen Aufführungen.
1930 wurde sie von der frisch geschiedenen Ex-Frau Ingeborg (Schwester von Arvid und Falk Harnack) ihres Bruders Johannes Ilmari Auerbach und deren Sohn Wulf Auerbach, ihrem Neffen, besucht. Ingeborg lernte sodann über Hanning Schröder dessen Freund Gustav Havemann kennen und heiratete diesen.
Weil Hanning Schröder Lieder für Arbeiterchöre komponierte und weil sie ihre jüdische Abstammung nicht verleugnete, wurde Cornelia Schröder-Auerbach, ebenso wie ihr Mann, vom nationalsozialistischen Berufsverbot getroffen. Sie lebte ab 1943 mit der Tochter Nele zurückgezogen bei der Familie Rienau im Darguner Pastorat in Mecklenburg, wo sie von 1944 bis 1952 Organistin und Chorleiterin war. Von Anfang 1944 bis März 1945 verbargen Hanning Schröder und Cornelia Schröder-Auerbach in ihrer Berliner Wohnung am Quermatenweg 148 in Berlin-Zehlendorf ein jüdisches Ehepaar und retteten diese vor dem sicheren Tod.
Von 1954 bis 1959 war sie Leiterin der Arbeit der Sektion Musik an der Deutschen Akademie der Künste in Ost-Berlin.