Josef Welzel absolvierte von 1941 bis 1944 im benachbarten Rückers eine Lehre zum Glasschleifer, die er mit der Gesellenprüfung abschloss. Anschließend wurde er in den Kriegsdienst eingezogen. Nach Ende des Zweiten Weltkriegs 1945 geriet er in sowjetische Kriegsgefangenschaft, von der er nicht mehr in seine schlesische Heimat zurückkehren konnte. 1948 erhielt er eine Stelle als Glasschleifer in Niedermarsberg und Euskirchen. Von 1949 bis 1951 besuchte er die Glasfachschule in Rheinbach, die er mit der Fachprüfung zum Graveur abschloss. Danach praktizierte er als Glasschleifer bei der Firma Villeroy & Boch in Wadgassen und bei der Firma Ceralys in Paris.
Zugleich war er Schüler der Meisterklassen von Konrad Habermeier und Wilhelm Braun-Feldweg an der Staatlichen Höheren Fachschule in Schwäbisch Gmünd, die er mit der Meisterprüfung als Graveur abschloss. Danach war er bis 1956 Gastschüler bei Konrad Habermeier und Anton Mahringer und anschließend bis 1963 im Atelier des Bildhauers Fritz Nuss. Daneben arbeitete er von 1952 bis 1963 als Glasgraveurmeister in der Schwäbisch Gmünder Josephinenhütte. Von 1963 bis 1992 war Josef Welzel Fachlehrer für Glasgestaltung an der Staatlichen Glasfachschule in Hadamar, an der er bis 2006 weiterwirkte. Welzel starb am 12. August 2014 im Alter von 87 Jahren.