Der Sohn eines Arztes besuchte in Breslau das Maria-Magdalenen-Gymnasium. Zusammen mit dem späteren Kunsthistoriker Franz Landsberger bestand er 1903 das Abitur. Anschließend studierte er an den Universitäten in Berlin, Breslau und Genf. Seine Lehrer in Berlin waren die Historiker Hans Delbrück und Alfred Herrmann, die Philosophen Max Dessoir und Alois Riehl, der Nationalökonom Ignaz Jastrow und der Althistoriker Eduard Meyer, in Breslau der Soziologe Werner Sombart, der Psychologe Hermann Ebbinghaus und in Genf der Pädagoge Paul Duproix. Im Jahre 1911 promovierte Koebner in Berlin mit der Arbeit Die Eheauffassung des ausgehenden deutschen Mittelalters.
In Breslau habilitierte er sich 1919 (Die Anfänge des Gemeinwesens der Stadt Köln. Zur Entstehung und ältesten Geschichte des deutschen Städtewesens, Bonn 1922). Ab 1920 lehrte Richard Koebner an der Universität Breslau als Privatdozent, ab 1924 als außerordentlicher Professor. In den Wintersemestern 1930 bis 1933 übernahm er die Vertretung für Hermann Aubin, der in Kairo eine Gastprofessur für Mediaevistik angenommen hatte. Durch sein eigenes breit gefächertes Studium waren Koebners Vorlesungen häufig interdisziplinär geprägt. So gehörten zu seinen Seminaren auch Interpretationen des Thomas von Aquin. Im April 1933 wurde Koebner aufgrund des NS-Gesetzes zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums aus dem Universitätsdienst entlassen. Er erhielt eine Berufung auf den Lehrstuhl für neue Geschichte an die junge Hebräische Universität Jerusalem und emigrierte.
An seiner neuen Wirkungsstätte gründete er ein historisches Institut, dessen Leitung er übernahm. Nachdem er britischer Staatsbürger geworden war, konnte er noch einige Male nach Deutschland reisen und dort begonnene Studien fortsetzen. Richard Koebner gehörte zu den Intellektuellen und Künstlern, die der jüdische „Kaufhauskönig“ Salman Schocken – 1934 von Berlin nach Jerusalem emigriert – um sich scharte. Zu diesem Kreis zählten der Historiker Hans Kohn und die Philosophen Hans Jonas und Leo Strauss; auch der Architekt Erich Mendelsohn und die Schriftstellerin Else Lasker-Schüler bereicherten das gesellschaftliche Leben deutscher Juden in der Emigration. Koebner schuf durch sein Wirken die Grundlagen der israelischen Geschichtswissenschaft. Zur Erinnerung an ihn wurde 1980 das „Richard-Koebner-Zentrum für Deutsche Geschichte“ an der Universität Jerusalem gegründet. Seit 1986 ist Moshe Zimmermann Direktor dieses Zentrums.
1954 emeritierte Koebner und zog nach London, wo er seine letzten Lebensjahre verbrachte. Ein Jahr vor seinem Tode erschien in Berlin in deutscher Sprache sein Werk Vom Schönen und seiner Wahrheit. Eine Analyse ästhetischer Erlebnisse, das er zusammen mit seiner Ehefrau Gertrud verfasst hatte. Gertrud hatte 1915 einen Bericht über ihre Gefangenschaft in Frankreich veröffentlicht