Adam Cichon erlernte das Fußballspielen beim SC Jülich 1910. 1998 wechselte er vom 1. FC Köln zum Lokalrivalen SC Fortuna Köln, wo er bis 2003 in der 2. Fußball-Bundesliga und in der Regionalliga spielte. 2003 wechselte er nach Polen zu Widzew Łódź, wo er eineinhalb Jahre spielte. Von 2004 bis 2006 stand er bei Polonia Warschau unter Vertrag. Insgesamt absolvierte Adam Cichon 77 Spiele in der polnischen Ekstraklasa und erzielte 8 Tore. In der Saison 2006/2007 war er daraufhin ohne Vertrag.
2007 wechselte er in Folge zum österreichischen Zweitligisten SV Bad Aussee, mit dem er zwar abstieg, jedoch einer der wenigen Leistungsträger in einer insgesamt schwachen Mannschaft war. Von 2008 bis 2010 spielte er auch noch zwei Spielzeiten für den österreichischen Zweitligisten FC Gratkorn. In der 2. Liga Österreichs spielte er 84 mal und erzielte 14 Tore. Seit Anfang der Saison 2010/2011 ist er wieder vertragslos.