Fritz Laband stammte aus Oberschlesien. Von 1936 bis 1937 spielte er bei Reichsbahn SV Hindenburg, danach von 1938 bis 1943 für Hindenburg 09 und im Jahr 1943 für SC Preußen Zaborze. Im Jahr 1945 kam er als Heimatvertriebener in die sowjetische Besatzungszone. Seine Fußballkarriere setzte er in Wismar bei ZSG Anker fort, wurde 1949 Mecklenburg-Meister, spielte 1949/50 in der DDR-Oberliga und wurde fünfmal in der Landesauswahl Mecklenburg eingesetzt. Bei einer Begegnung zwischen den Auswahlmannschaften der DDR und der ČSR 1950 wurden Späher des Hamburger SV auf Laband aufmerksam und überzeugten ihn zum Wechsel nach Hamburg. Für den HSV absolvierte er von 1950 bis 1956 143 Spiele, danach wechselte er für eine Saison zu Werder Bremen. Später spielter er noch ein Jahr für Grün-Weiß 07 Hamburg. Nach seiner aktiven Laufbahn trainierte er Buxtehuder SV, USC Paloma Hamburg und SV Lurup.
In der bundesdeutschen Nationalmannschaft kam Laband als Verteidiger in vier Spielen zum Einsatz. Sein erstes Länderspiel bestritt er beim 5:3-Sieg über die Schweiz am 25. April 1954 in Basel. Höhepunkt seiner Karriere war die Teilnahme an der Fußballweltmeisterschaft 1954 in der Schweiz, bei der er mit der deutschen Nationalmannschaft Weltmeister wurde. Er spielte dort in den beiden Begegnungen der Vorrunde gegen die Türkei (4:1 und 7:2) sowie im Viertelfinale beim 2:0 gegen Jugoslawien.
In späteren Jahren geriet er als Gastronom in erhebliche finanzielle Schwierigkeiten. Bis kurz vor seinem Tod 1982 arbeitete er in seinem erlernten Beruf als Elektriker und zuletzt als Fahrer des Firmenchefs der Firma Kobolt in Hamburg-Rothenburgsort. Anfang der 1980er Jahre wurde bei Fritz Laband, der lange geraucht hatte, Kehlkopfkrebs diagnostiziert. Er erlag dem Krebs schließlich 56-jährig im Hamburger Krankenhaus St. Georg.