Nach dem Studium der Chemie an der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, der Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald und an der Universität Göttingen promovierte Peter Adolf Thiessen dort 1923 bei Richard Zsigmondy mit einer Dissertation zum Thema „Kritische Untersuchungen am kolloidalen Gold“. Von 1925 bis 1928 und erneut ab 1933 war er Mitglied der Nationalsozialistischen Deutschen Arbeiterpartei (NSDAP) (Mitglieds-Nr. 3096). Nach seiner Habilitation wirkte er in den Jahren 1926 bis 1932 als Dozent und von 1932 bis 1935 als außerordentlicher Professor für anorganische Chemie an den Universitäten in Göttingen, Frankfurt am Main und Münster.
1935 wurde er als ordentlicher Professor an die Westfälische Wilhelms-Universität in Münster berufen, nahm aber bereits im gleichen Jahr einen Ruf als Direktor des Kaiser-Wilhelm-Instituts für physikalische Chemie und Elektrochemie in Berlin-Dahlem an. Seine Rolle in der Zeit des Nationalsozialismus, insbesondere die Ausrichtung des Instituts auf die Giftgas-Forschung wie beispielsweise die „Wunderwaffe“ Chlortrifluorid (N-Stoff), wird aus heutiger Sicht verurteilt.
Nach dem Zweiten Weltkrieg wirkte er auf Betreiben des Narodny Kommissariat Wnutrennich Del (NKWD) in der Sowjetunion und arbeitete in einem Institut in Sinop bei Sochumi (Georgien) am sowjetischen Atomprogramm mit. 1956 kehrte er zurück in die Deutsche Demokratische Republik (DDR) und war er bis 1964 Direktor des Instituts für physikalische Chemie der Akademie der Wissenschaften der DDR sowie von August 1957 bis 1965 Vorsitzender des Forschungsrates der DDR. Von September 1960 bis November 1963 gehörte er als parteiloses Mitglied dem Staatsrat der DDR an.