Nach dem Studium der Rechtswissenschaft wurde er 1900 an der Schlesischen Friedrich-Wilhelms-Universität Breslau mit einer Arbeit zur Beweislast promoviert. Hier begründete er die nach ihm benannte sog. Rosenbergsche Formel, nach der im Grundsatz jeder die Beweislast für das Vorliegen der ihm günstigen Tatsachen trägt. Nach seiner Habilitation 1906 war er zunächst Extraordinarius und Rektor an der Hessischen Ludwigs-Universität Gießen, bevor er 1932 o. Professor an der Universität Leipzig wurde. Wegen seiner jüdischen Herkunft wurde er 1934 zwangsweise in den Ruhestand versetzt. Er überlebte die nationalsozialistischen Verfolgungen in Stiefenhofen. Seine neunzehnjährige Tochter starb beim Arbeitsdienst und zwei seiner Schwestern wurden Opfer des Holocaust.
Nach dem Krieg wurde er Professor an der Ludwig-Maximilians-Universität München. Er begründete die Großen Lehrbücher zum Zivilprozessrecht (heute: Rosenberg/Schwab/Gottwald, 17. Auflage 2010) und zum Zwangsvollstreckungsrecht (heute: Gaul/Schilken/Becker-Eberhard, 12. Auflage 2010).
Die Bayerische Akademie der Wissenschaften ernannte ihn 1954 zum ordentlichen Mitglied.