Hans Adolf entstammte dem Adelsgeschlecht von Brause. Er war ein Sohn des königlich-preußischen Regierungsreferendars Adolf Friedrich von Brause' (1812-1879) und der Emmeline geb. Sametzky (1818-1906) sowie ein Enkel des Generals Friedrich August Wilhelm von Brause.
Am 15. April 1879 heiratete er in Artern Anna Ottilie Beyer (1856-1911). Aus der Ehe gingen zwei Söhne und sieben Töchter hervor.
Seine Schulbildung erhielt von Brause von Ostern 1861 bis 1869 auf dem Gymnasium zu Görlitz. Er studierte anschließend Philologie, Germanistik und Geschichte in Halle/Saale und Berlin. 1873 wurde er Mitglied der Landsmannschaft (später Corps) Neoborussia Halle.
Ostern 1873 übernahm er die Leitung einer Privatschule in Artern. Anfang November 1876 schied er aus dieser Stellung und hospitierte an der Universität Leipzig. Ein Jahr darauf wurde er Vikar für Französisch und Deutsch an der I. Realschule zu Leipzig und legte 1878 vor der königlichen Prüfungskommission der Universität Leipzig das Staatsexamen ab. Zunächst als provisorischer, ab 1881 als ständiger Oberlehrer an der I. Realschule zu Leipzig unter Direktor Dr. Pfalz nahm er zur weiteren Ausbildung in der französischen Sprache einen Studienaufenthalt in Paris und später in der Welschschweiz.
1888 wurde er vom sächsischen Kultusministerium zum Direktor der Realschule in Stollberg/Erzgeb. berufen. Von dort wurde er durch den Leipziger Oberbürgermeister Dr. Otto Georgi 1892 als Direktor der II. städtischen Realschule in Leipzig-Reudnitz ernannt. In dieser Stellung und als Vorsitzender des sächsischen Philologenverbandes setzte er sich maßgeblich für den Ausbau und die Fortentwicklung des höheren lateinlosen Schulwesens in Sachsen und ganz Deutschland ein. In den Realschulen erkannte er das geeignete Mittel, um den breiten, durch Industrialisierung und Verstädterung aufstrebenden Schichten der Bevölkerung die notwendige höhere Bildung zukommen zu lassen.
Nicht von ungefähr wurde unter seiner Leitung die II. städtische Realschule im Leipziger Osten, wo die großen Weltfirmen damals ihre Geschäftshäuser und Fabriken bauten, mit bis zu 1000 Schülern zu einer der größten Bildungsstätten des Reiches. Zwei große und gut ausgestattete Turnhallen sowie großzügige physikalische und chemische Experimentierräume, regelmäßige Exkursionen zu bedeutenden Industriebetrieben und Bildungsstätten in der näheren und weiteren Umgebung, Ferienwanderungen mit geschichtlicher oder naturwissenschaftlicher Zielsetzung und ein junger, akademischer und zum überwiegenden Teil promovierter Lehrkörper, der seine pädagogischen Ideen ohne schematischen Zwang entfalten konnte, zeugen von der erfolgreichen Umsetzung reformpädagogischer Maßnahmen unter Brauses Direktorat. Bei den großen Versammlungen der lateinlosen höheren Schulen Deutschlands war er ein gesuchter Redner und stand vielen reformpädagogischen Schulgründern -wie etwa Hugo Gaudig oder dem jüdischen RabbinerEphraim Carlebach beim Aufbau der Höheren Israelitischen Schule- als Ratgeber zur Seite. 1919 schied von Brause altersbedingt aus dem Amt des Schuldirektors, widmete sich jedoch als Vorsteher eines Armendistrikts und als Waisenrat weiterhin verschiedenen sozialen Projekten. Politisch engagierte er sich im nationalliberalen Lager und bemühte sich, die weltanschaulichen Gräben zwischen den Parteien der jungen Republik zu beseitigen.
Im Alter von 81 Jahren verstarb von Brause in Leipzig und wurde unter großer öffentlicher Anteilnahme, u. a. von Lehrer- und Schülerschaft seiner nunmehr nach Wilhelm Ostwald benannten Schule, auf dem Leipziger Südfriedhof bestattet.