Bauer, der Sohn eines Hotelbesitzers, absolvierte die Realschule in seinem Heimatort, studierte Architektur in Wien und schloss sich an Josef Olbrich und Josef Hoffmann, vor allem aber an Otto Wagner an, dem seine erste eigene Veröffentlichung widmete. Bauers Auffassung von Architektur ging vom Prinzip absoluter Zweckmäßigkeit aus und befürwortete die Maschinenzivilisation und die Vereinigung von Hygiene, Komfort und Schönheit beim Bau von Familienhäusern. Stilistisch nahm Bauer allerdings mit den Jahren eine deutliche Abkehr von der Moderne vor.

Bei dem von Alexander Koch ausgeschrienen Wettbewerb um das „Haus eines Kunstfreundes“ erhielt Bauer im Jahr 1902 ex aequo mit Baillie Scott und Charles Rennie Mackintosh den ersten Preis. Seine ersten Aufträge waren Landhäuser in Mähren und Schlösserrestaurierungen. Sein Hauptwerk ist der zum monumentalen Neoklassizismus tendierende Bau der Österreichischen Nationalbank. 1913-1919 war Bauer als Nachfolger Otto Wagners Leiter der Spezialschule für Architektur an der Akademie der Bildenden Künste Wien. Auf politischen Druck von linker Seite musste er aber diese Position aufgeben. Er publizierte in der Folge viel zu Fragen der Architektur, vor allem die Neue Freie Presse gab seinen Ansichten Raum.