Robert wurde als jüngstes von zehn Kindern der Eheleute Hermann und Agnes Kosch, geb. Heinrich geboren. Am 23. April 1874 trat er als Secondeleutnant in das 4. Niederschlesische Infanterie-Regiment Nr. 51 ein. Von 1877 bis 1880 absolvierte er die Preußische Kriegsakademie. Am 3. April 1880 heiratete er Gertrude Noeggerath, mit der er drei Töchter hatte. Vom 1. April 1881 bis 31. März 1887 Bataillons- und Regimentsadjutant beim 1. Unter-Elsässischen Infanterie-Regiment Nr. 132 in Glatz/Schlesien, wurde er am 1. April 1887 zum Großen Generalstab nach Berlin kommandiert. Es folgten weitere verschiedene Verwendungen.
Am 22. April 1912 wurde er zum Generalleutnant befördert und erhielt am 4. Juni 1912 die Ernennung zum Kommandeur der 10. Division in Posen. Mit dieser Einheit kämpfte er nach Ausbruch des Ersten Weltkriegs erfolgreich an der Westfront. Am 9. Oktober 1914 wurde er zum Führer des I. Armee-Korps in Litauen ernannt, wo sich seine Truppen den zahlenmäßig überlegenen russischen Truppen entgegenstellten und nach anfänglichem Rückzug in der Winterschlacht in Masuren erfolgreich waren. Für diese Erfolge wurde Kosch mit dem Orden Pour le Mérite ausgezeichnet. Am 11. Juni 1915 zum Kommandierenden General des X. Reserve-Korps ernannt, führte er dieses in den Schlachten am Dnjestr, Gnisa Lipa, Krasnostaw bis an den Bug. Danach wurde er auf dem Balkan versetzt, wo er mit der ihm unterstellten 101. und 103. Division Serbien eroberte. Für diesen Erfolg erhielt Kosch am 27. November 1915 das Eichenlaub zum Pour le Mérite.
Ende Februar 1916 bei Verdun eingesetzt, wurde er am 18. August 1916 zum General der Infanterie befördert. Am 28. August 1916 erfolgte die Ernennung zum Führer des neugebildeten Generalkommandos (z.b.V.) Nr. 52, mit dem er im bulgarischen Donauraum zum Schutz gegen die ebenfalls in den Krieg eingetretenen Rumänen eingesetzt wurde. Am 1. Mai 1917 wurde er Oberbefehlshaber der 9. Armee. In einer mehrtägigen Schlacht am Argesch Ende November bis Anfang Dezember wurden die Rumänen besiegt und die rumänische Hauptstadt Bukarest eingenommen, womit der Zusammenbruch der rumänischen West- und Nordwestfront besiegelt war.
Nach Auflösung der Donau-Armee im März 1918 nahm Kosch als Führer des Generalkommandos 52 an der Besetzung der Ukraine und der Kämpfe gegen die Rote Armee teil. Am 1. Mai 1918 erfolgte die Ernennung zum Oberbefehlshaber aller Truppen in Taurien und der Krim. Nach Kriegsende übernahm er das Kommando über den Grenzschutz Ost, bevor er am 10. Januar 1919 aus der Armee ausschied.
Kosch wurde 1942 auf dem Invalidenfriedhof in Berlin beigesetzt. Das Grab ist nicht erhalten.