Er entstammte einer Müller-Familie aus Calbe (Saale) (heute Salzlandkreis, Sachsen-Anhalt, erstmals erwähnt 1709). Am 18. Januar 1901 wurde Drenkmann in Berlin in den preußischen Adelsstand erhoben.
Drenkmann heiratete am 11. Oktober 1860 in Berlin Anna Licht (* 2. Februar 1833 in Berlin; † 4. August 1898 in Sellin).
Sein Enkel war der durch Terroristen ermordete Kammergerichtspräsident Günter von Drenkmann (1910-1974).
Seine Juristenlaufbahn begann er 1852 als Gerichtsassessor, wurde 1857 Staatsanwalt und 1862 Erster Staatsanwalt am Kammergericht. 1865 wurde er Appellationsgerichtsrat in Halberstadt und 1869 Kammergerichtsrat. Im Jahr 1872 wurde er Obertribunalrat und 1874 Vizepräsident am Appellationsgericht in Posen. Im Jahr 1876 wurde er Präsident am Appellationsgericht in Marienwerder in Pommern. Im Jahr 1879 wurde er Senatspräsident am Reichsgericht und 1889 Präsident des Kammergerichts. Später war er auch Kronsyndikus.
Von 1890 bis zu seinem Tod 1904 war er Mitglied des Preußischen Herrenhauses und ab 1896 Wirklicher Geheimrat. Er galt als unbeeinflussbar gesetzestreu und schlug deshalb - was dem antisemitischen öffentlichen Zeitgeist nicht entsprach - 1892/1893 geeignet erscheinende Assessoren auch dann zur Richterernennung vor, wenn sie einer jüdischen Gemeinde angehörten. Diesen Vorschlägen folgte aber das Justizministerium bei allem Respekt vor von Drenkmann nicht.