Joachim Kaps studierte Schauspiel an der Schauspielschule Ernst Busch in Berlin. Anschließend war er von 1976 bis 1979 im südthüringischen Staatstheater von Meiningen beschäftigt, wo er in drei Spielzeiten in 27 Rollen auftrat. 1979 wechselte er zum Pantomimenensemble am Deutschen Theater in Berlin. Gleichzeitig gastierte er an der Volksbühne am Rosa-Luxemburg-Platz. Zu dieser Zeit begann er auch mit der Arbeit fürs Fernsehen, wo er bis heute mehr als 200 mal auftrat. Allein 100 mal gab er den clownesken Gastgeber „Achim“ der Kindersendung „Brummkreisel“. Eine weitere bekannte Rolle war die des „Hans-Günther Koch“ in der Fernsehschwankreihe des Fernsehens der DDR, „Ferienheim Bergkristall“. Dank seiner markanten Stimme ist er auch schon ebensolang als Synchronsprecher, Sprecher von Hörbüchern und in Hörspielen sowie seit der Wende von Werbung tätig. Er sprach in mehr als 400 Hörfunkproduktionen.

Nach der Wende arbeitete Kaps an der Theatermanufaktur am Halleschen Ufer. Für seine Rolle im Film „Sherlock Holmes & die 7 Zwerge“ wurde er auf dem Geraer Kinderfilmfestival mit dem „Goldenen Spatz“ ausgezeichnet. Weitere bekannte Rollen waren die eines Strafverteidigers in mehreren Folgen der Fernsehserie „Im Namen des Gesetzes“, dem Kinderfilm „Spuk aus der Gruft“ sowie Gastrollen in Serien wie „In aller Freundschaft“ und „Schloss Einstein“. Für letzteres bekam er 1999 erneut einen „Goldenen Spatz“ in Gera. Als Sprecher ist er unter anderem für mehrere Rollen in der Anime-Serie „Digimon“ bekannt. Aber auch in der Cartoon-Serie Mummies Alive lieh er einem Hauptcharakter seine markante Stimme. Seit 2006 ist er am Berliner Kriminal Theater beschäftigt. Seine bekanntesten Synchronarbeiten waren die für Steve Zahn in „Crimson Tide“ und David Schofield in „Gladiator“.