Reichelt wurde 1943 Anwärter der NSDAP, war bis 1945 Soldat der deutschen Wehrmacht (zuletzt im Rang eines Leutnants) und bis 1949 in sowjetischer Kriegsgefangenschaft.
Nach seiner Rückkehr nach Deutschland wurde er Mitglied der DBD und hatte verschiedene Funktionen (seit 1955 Präsident) im Parteivorstand. Seit 1950 war er Abgeordneter der Volkskammer. 1953 war er als Nachfolger von Wilhelm Schröder kurzzeitig Minister für Land- und Forstwirtschaft, wurde nach dem Besuch der Zentralschule für Agrarpolitik des ZK der SED in Schwerin 1954 Staatssekretär im Ministerium für Land- und Forstwirtschaft und war von 1955 bis 1963 als Nachfolger von Paul Scholz erneut Minister.
Von 1963 bis 1964 absolvierte er ein Hochschulstudium, er promovierte 1971. Er war 1963 bis 1972 Stellvertretender Vorsitzender des Landwirtschaftsrates und 1971/1972 Stellvertretender Minister für Land-, Forst- und Nahrungsgüterwirtschaft, danach bis 1989 als Nachfolger von Werner Titel Minister für Umweltschutz und Wasserwirtschaft und Stellvertretender Vorsitzender des Ministerrates. Seit 1982 war er Stellvertretender Vorsitzender der DBD.
Von November 1989 bis Januar 1990 war er Minister für Naturschutz, Umweltschutz und Wasserwirtschaft. Im Dezember 1989 trat er vom Vorstand der DBD zurück und beteiligte sich nicht mehr an der Fusion der DBD mit der CDU.
Er geriet noch einmal in den Blickpunkt der Öffentlichkeit, als er gegen eine Rentenkürzung für seine Zeit als Minister vor Gericht zog. 2010 entschied daraufhin das Bundesverfassungsgericht, dass die Kürzung rechtmäßig sei, da davon ausgegangen werden könne, dass DDR-Minister ihr Amt nicht nur wegen ihrer Qualifikation, sondern auch wegen ihrer Systemtreue innehatten.[