Nach seiner Schauspielausbildung an der Otto-Falckenberg-Schule in München (1946/47) bestritt Glemnitz seine Anfängerjahre überwiegend mit Kabarett: „Die Kabarettiche“ in Köln und Gastspiele der Studiobühne der „Kleinen Freiheit“ in Zürich und Wien.
Im Jahr 1948 begann er als Sprecher beim Bayerischen Rundfunk. Seine erste Filmrolle folgte 1954 mit 08/15, im Jahr darauf spielte er in Rosenmontag und 1960 in Mein Schulfreund von Robert Siodmak. Von 1956 bis 1958 stand er in Wuppertal auf der Bühne, im Anschluss daran hatte er bis 1961 weitere Engagements am Bayerischen Staatsschauspiel in München. Es folgten diverse Auftritte in Film und Fernsehen, darunter der Durbridge-Dreiteiler Die Schlüssel, die Spionageserie Die fünfte Kolonne und die Science-Fiction-Kultserie Raumpatrouille sowie die Produktionen Der Millionenbauer, Polizeiinspektion 1, Die Wannseekonferenz, SOKO 5113, Das Traumschiff, Derrick, Weißblaue Geschichten, Anna Maria und Kanal fatal.
Seine bekannteste Rolle als Inspektor Robert Heines spielte er von 1968 bis 1975 in der erfolgreichen ZDF-Krimiserie Der Kommissar, was ihm vier Mal den Fernsehpreis „Bambi“ in Gold (1970, 1971, 1972 und 1975) und ein Mal in Silber (1973) einbrachte. 1990 bekam er in Leipzig einen Ehren-Bambi. Vom Bayerischen Rundfunk erhielt er 1998 anlässlich seines 50-jährigen Sprecher-Jubiläums die „Goldene Medaille“ verliehen.
Von 1981 bis 1983 stand Reinhard Glemnitz in Wien, West-Berlin und München mit dem Musical Evita auf der Bühne, wo er in der Rolle des Oberst Perón auch seine Gesangskünste unter Beweis stellen durfte. 1996 spielte er im Musical Hello Dolly die Rolle des Vandergelder in der Komödie im Bayerischen Hof in München.
Im Synchronstudio lieh er seit 1955 u.a. Richard Harris (z.B. in Camelot), Anthony Perkins (in Der Prozess, Lieben Sie Brahms? und Die dritte Dimension), Michael Caine (in Der tödliche Schwarm), Bernard Hill als König Théoden in Der Herr der Ringe, Tom Courtenay in Die letzte Runde, Bernard Le Coq in dem Chabrol-Film Die Blume des Bösen und Christopher Plummer in Insider seine Stimme. Außerdem sprach er Judd Hirsch, einen seiner Lieblingsschauspieler, in den Serien Mein lieber John, George & Leo sowie bei einem Gastauftritt in Caroline in the City. In der Fernsehserie SeaQuest DSV ist er für Michael Ironside zu hören, in Stargate Atlantis synchronisiert er Mitch Pileggi und in The Agency – Im Fadenkreuz der C.I.A. Ronny Cox. Im Leconte-Film Das zweite Leben des Monsieur Manesquier lieh er Jean Rochefort die Stimme.
Reinhard Glemnitz ist mit der Tänzerin Lydia Blum verheiratet und hat zwei Töchter. Er wohnt seit 1969 in der Nähe des Tegernsees.