Taschner debütierte als 7-jähriger in Prag mit einem Violinkonzert von Mozart. Später studierte er bei Jenö Hubay in Budapest, bei Bronislaw Huberman und Adolf Bak in Wien. 1939 wurde er Konzertmeister am Stadttheater von Brünn. 1941, mit 19 Jahren, von Wilhelm Furtwängler als jüngster erster Konzertmeister zu den Berliner Philharmonikern geholt, etablierte er sich in den Kriegsjahren schnell als gefeierter Solist. Nach dem Zweiten Weltkrieg bildete er mit dem Cellisten Ludwig Hoelscher und dem Pianisten Walter Gieseking ein erfolgreiches Trio. 1950 wurde er als Professor an die Berliner Musikhochschule berufen. Bis Anfang der 60er Jahre trat er bei Konzerten in aller Welt auf, dann musste Taschner aufgrund eines Rückenleidens seine Karriere beenden. Danach widmete er sich ausschließlich seiner pädagogischen Tätigkeit. Ab 1942 war er mit der Pianistin Gerda Nette-Taschner (geb. 1907) verheiratet. Er erhielt ein Ehrengrab auf dem III. Städtischen Friedhof Stubenrauchstraße in Berlin-Friedenau.
Mittlerweile wiederveröffentlichte Aufnahmen (ab 1997 bei EMI und bei MDG, zum größten Teil aus Rundfunkarchiven stammend; die relativ wenigen Studioaufnahmen bei Archiphon) zeugen vom überragenden Rang dieses Geigers, dessen Karriere merkwürdig im Sande verlief und der jahrzehntelang völlig der Vergessenheit anheim gefallen war. Zu den diskographischen Höhepunkten gehört seine Kreutzer-Sonate mit dem Pianisten Walter Gieseking, die spontan in einer Pause bei Orchesteraufnahmen entstand.
Von 2001-2005 vergab die Universität der Künste Berlin den Gerhard-Taschner-Preis für Violine.