Schönherr studierte von 1929 bis 1933 Evangelische Theologie in Tübingen und Berlin und war anschließend bis 1934 Vikar in Potsdam. Er besuchte das Predigerseminar Finkenwalde, das von Dietrich Bonhoeffer geleitet wurde; die Begegnungen mit ihm prägten Schönherr nachhaltig. 1936 wurde er in Berlin ordiniert und war anschließend in Greifswald und ab 1937 in Brüssow (Uckermark) als Pfarrer tätig.
Nach Kriegsteilnahme und Kriegsgefangenschaft war er ab 1946 Superintendent des Kirchenkreises Brandenburg/Havel und 1951 bis 1962 Direktor des Predigerseminars in Brandenburg. Er zählt zu den Mitbegründern des „Weißenseer Arbeitskreises“ im Jahre 1958. Gleichzeitig begann seine Mitarbeit in der Christlichen Friedenskonferenz (CFK). 1962 wurde er Generalsuperintendent in Eberswalde und 1967 bis 1972 Verwalter des Bischofsamtes der Evangelischen Kirche in Berlin-Brandenburg, nachdem die DDR-Behörden dem Berliner Bischof Kurt Scharf beharrlich die Einreise verweigerten.
Von 1969 bis 1981 war Schönherr Vorsitzender der Konferenz der Evangelischen Kirchenleitung und damit Vorsitzender des Bundes der Evangelischen Kirchen in der DDR. Letzterer war 1969 gegründet worden, nachdem die DDR 1968 alle ihre Grenzen übergreifenden Organisationen für illegal erklärt hatte.[1] Von 1972 bis 1981 war Schönherr Bischof der Region Ost der Evangelischen Kirche in Berlin-Brandenburg. Sein Nachfolger in diesem Amt wurde Gottfried Forck.
Schönherr war maßgeblich an der innerkirchlichen Verständigung auf die Formel „Kirche im Sozialismus“ ("nicht gegen, nicht neben, sondern im Sozialismus")[1] beteiligt, die in Anlehnung an Bonhoeffer als „Kirche für andere“ interpretiert wurde. Das Treffen zwischen der von ihm geleiteten Delegation des Bundes der Evangelischen Kirchen in der DDR und dem Staatsratsvorsitzenden der DDR, Erich Honecker, am 6. März 1978 markierte die Wende zu einer moderateren Kirchenpolitik, die der evangelischen Kirche Autonomiegewinne im Gegenzug für Konfrontationsverzicht versprach. Schönherr hatte Anteil an der Trennung der Kirchen in der DDR von der EKD.[2]
Albrecht Schönherr war in zweiter Ehe mit der Theologin Annemarie Schönherr verheiratet. Sein Sohn aus erster Ehe Dietrich Schönherr (* 1947) war von 1981 bis 2010 Kantor und Dozent für Musik am damalige Kirchlichen Oberseminar in Potsdam-Hermannswerder und dann am dortigen Evangelischen Gymnasium.