Er entstammt dem alten schlesischen Adelsgeschlecht von Dobschütz und ist der Sohn des Oberstleutnants Bernhard von Dobschütz (1906-1994) und dessen erster Ehefrau Martha von Bethe (1910-1947).
Dobschütz heiratete am 30. Dezember 1964 in Laubach (Landkreis Gießen, Hessen) die Lehrerin Barbara Gerschlauer (* 18. Januar 1941 in Kiel), die Tochter des Physikers und Oberstudiendirektors Dr.-Ing. Werner Gerschlauer und der Margarete Scriba. Das Ehepaar hat einen Sohn Nikolaus (Klaus).
Sein Großvater war der Oppelner Superintendent Felix von Dobschütz (1867-1936), sein Cousin ist der Wirtschaftswissenschaftler und Unternehmensberater Leonhard von Dobschütz (* 1940).
Nach dem Besuch des Ernst-Kalkuhl-Gymnasiums in Oberkassel (Bonn) und dem anschließenden Studium der Germanistik und Romanistik an der Universität zu Köln und bei Prof. Benno von Wiese an der Universität Bonn absolvierte Dobschütz noch die private Schule des Theaters in Köln (Eigentümer: Heinz Opfinger und Ehefrau Marianne Jentgens). Es folgten Engagements an den Bühnen der Stadt Köln und dem Staatstheater Kassel, wo er auch als Regieassistent arbeitete. Seine größten Theater-Erfolge erlebte Dobschütz während seiner Jahre am Nationaltheater Mannheim nach seinem Durchbruch in Arthur Lee Kopits Kultstück „Oh Vater, armer Vater, Mutter hing dich in den Schrank und ich bin ganz krank". In Mannheim spielte er u. a. neben Joseph Offenbach im hessischen Mundartstück „Datterich“ von Ernst Elias Niebergall und mit Astrid Meyer-Gossler in William Shakespeares „Der Kaufmann von Venedig").
Seit Beginn der 1970er Jahre arbeitet Dobschütz als freier Schauspieler, ging auf unzählige Theatertourneen und war bei verschiedenen Theater-Festspielen engagiert. Als Filmschauspieler wirkte er in weit über 100 Rollen in Kino- und Fernsehfilmen (z.B. in „Der Stechlin“ neben Arno Assmann, „Die Patriarchin“ als Staatsanwalt Reuter neben Iris Berben) bzw., teilweise als einer der Hauptdarsteller, in TV-Serien mit (z.B. in „MS Franziska“ als Paul Wilde neben Paul Dahlke, „Notarztwagen 7“, „Das Traumschiff“, „Peter Strohm“ neben Klaus Löwitsch, „Männer vom K3“, „Tatort“ als Assistent neben Hansjörg Felmy, "Ein Fall für Zwei", „Stubbe – Von Fall zu Fall“ als Martin Gessler neben Wolfgang Stumph, „Der Bulle von Tölz“) und im Hörfunk auch als Sprecher in Hörspielen.
Zeitgleich produzierte er als Autor und Regisseur mit seiner eigenen Produktionsfirma „Sabelli-Film" (in späteren Jahren auch in Zusammenarbeit mit seinem Sohn Klaus, dem heutigen Firmeninhaber) etliche Dokumentarfilme für das deutsche Fernsehen oder schrieb als Autor dokumentarische Beiträge für den Hörfunk.
Neben seiner Arbeit als Schauspieler und Regisseur ist Dobschütz auch Autor einiger Gedichte und Kurzgeschichten, die er selbst in Autorenlesungen bundesweit vorträgt.
Dobschütz, der neben deutschen Dialekten (Hessisch, Kölsch, Rheinisch) auch Englisch, Französisch und Italienisch beherrscht, lebt heute in Berlin und seit Jahrzehnten in Rom, wo er an der Seite internationaler Stars (z.B. Anthony Quinn) in internationalen und italienischen Film- und Fernsehproduktionen mitwirkte. So dreht er ab März 2010 in Rom den Film „Habemus Papam“ mit Nanni Moretti, in der er die Rolle eines Kardinals verkörpert.