Finsch wurde in Schlesien geboren. Sein Vater besaß eine Glasschleiferei und leitete eine Zeichenschule. Er sollte auf Wunsch seines Vaters Kaufmann werden. Ohne Schulabschluss unternahm er mit 19 Jahren erste Reisen durch Bulgarien und Ungarn zum Studium der dortigen Vogelwelt. 1861 erhielt er eine Stellung als Assistent am Niederländischen Reichsmuseum für Naturgeschichte in Leiden.
Auf Vermittlung des Bremer Arztes und Vogelkundlers Hartmann kam Finsch 1864 nach Bremen. Er wurde 1864 im Alter von 25 Jahren Konservator einer naturgeschichtlichen und ethnologischen Sammlung der Gesellschaft Museum und war von 1866 bis 1878 Direktor des neu eingerichteten Völkerkunde-Museums in Bremen. 1868 wurde er Ehrendoktor der Universität Bonn. 1872 reiste er durch Nordamerika und 1873 durch Lappland. In Begleitung des Zoologen Alfred Brehm und des Grafen von Waldburg-Zeil unternahm Finsch im Auftrag der Bremer Geographischen Gesellschaft 1876 eine Expedition durch Westsibirien, Turkestan und Nordwestchina. In Bremen und Delmenhorst war er ab 1885 auch Privatgelehrter.
Nach der Zeit am Bremer Museum wendete sich Finsch mit Unterstützung der Humboldt-Stiftung der Südsee zu, die er von 1879 bis 1882 bereiste. Als Agent des privaten Hamburger Neuguinea-Konsortiums (später umbenannt in Neuguinea-Kompagnie) von Adolph von Hansemann bereiste er 1884 und 1885 mit Kapitän Eduard Dallmann auf mehreren Reisen von Mioko aus fast die gesamte Nordküste Neuguineas und entdeckten den Sepik (Kaiserin-Augusta-Fluss). Finsch schloss auch Verträge über Landerwerbungen ab. 1885 wurde die Nordhälfte der Insel unter dem Namen Kaiser-Wilhelms-Land „Schutzgebiet“ der Neuguinea-Kompagnie und mit Finschhafen der erste Verwaltungssitz der Kolonie Deutsch-Neuguineas gegründet. Finsch war noch zwei Jahre lang Berater der Neuguinea-Kompagnie.